파라볼라 안테나가 포물선(parabola)을 회전시킨 곡면으로 되어 있는 이유는 뭐까?

'그림 1'과 같이 포물선의 축에 평행하게 들어오는 광선이나 소리가 반사되어 모두 한 점에 모이는 성질은 전파나 소리, 에너지를 한 곳에 집중시킬 수 있기 때문에 안테나를 비롯하여 태양열 집열기, 집음기, 반사망원경 등에 유용하게 사용된다. 또한 이를 반대로 응용하여 '그림 2'와 같이 그 특정한 점에 광원을 두면 서치라이트와 같이 포물선의 축에 평행하게 반사시킬 수 있다.

아래 그림은 영월 별마로 천문대에 설치된 집음기인데 포물면 형태의 안테나를 이용해 멀리서 온 작은 소리도 초점에 모아 증폭시킨다.

포물선 형태의 반사면을 이용해서 태양광을 선형으로 집중시키는 방식의 태양열 집열기 시스템은 1000℃까지도 생산할 수 있다고 한다.


[논제]

포물선이란 평면 위의 한 점(F)과 한 직선(즺)에 이르는 거리가 같은 점들의 집합이다. 아래 그림과 같이 직선 즺 위를 움직이는 점 Q를 생각하면 FQ 의 수직이등분선과 점 Q를 지나 직선 즺 에 수직인 직선의 교점 P의 자취가 바로 포물선이 되는 것이다.

◇답안 길라잡이

점 P는 QF의 수직이등분선 위의 점이므로 PF=PQ 이고, △FPH=△QPH이다. 따라서 ∠FPH=∠QPH이다. 그런데 ∠APB=∠QPH(맞꼭지각)이므로 ∠FPH=∠APB이다. 따라서 입사각과 반사각이 같으므로 포물선의 축에 평행하게 들어온 광선은 반사되어 초점 F에 모이게 된다.

이와 같은 포물선의 반사성질은 서울대 자연계 논술 2차 예시문항에서 카세그레인식 천체망원경의 원리와 관련하여 다루어진 바 있다.

참고로 전국수학교사모임인 '수학사랑' 홈페이지(http://mathlove.org/GSP/parabola.html)에서 이런 원리로 포물선을 그려볼 수 있다.

지정은(동작고 교사)

[논제] 이 그림을 사용하여 포물선의 반사성질을 설명하라.

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